Kako riješiti simetrični sistem jednačina. §5. Homogene jednačine i sistemi. I. Motivacija za nastavne aktivnosti učenika

1. Jednačine se nazivaju simetrične jednačine 3. stepena ako izgledaju
ax 3 + bx 2 + bx + a = 0.

Za uspješno rješavanje ovakvih jednadžbi korisno je znati i moći koristiti sljedeća jednostavna svojstva recipročnih jednačina:

A) Svaka recipročna jednačina neparnog stepena uvijek ima korijen jednak -1.

Zaista, ako grupišemo pojmove na lijevoj strani na sljedeći način: a (x 3 + 1) + bx (x + 1) = 0, to jest, moguće je izvaditi zajednički faktor, tj. (x + 1) (ax 2 + (b - a) x + a) \u003d 0, dakle,
x + 1 = 0 ili ax 2 + (b - a) x + a = 0, prva jednadžba i dokazuje izjavu koja nas zanima.

b) Recipročna jednačina nema nulte korijene.

V) Kada se polinom neparnog stepena podijeli sa (x + 1), količnik je opet recipročan polinom, a to se dokazuje indukcijom.

Primjer.

x 3 + 2x 2 + 2x + 1 = 0.

Rješenje.

Originalna jednadžba nužno ima korijen x = -1, pa dijelimo x 3 + 2x 2 + 2x + 1 sa (x + 1) prema Hornerovoj shemi:

x 3 + 2x 2 + 2x + 1 = (x + 1) (x 2 + x + 1) = 0.

Kvadratna jednadžba x 2 + x + 1 = 0 nema korijena.

Odgovor: -1.

2. Jednačine se nazivaju simetrične jednačine 4. stepena ako izgledaju
ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0.

Algoritam rješenja slična jednačina je:

A) Podijelite obje strane originalne jednadžbe sa x 2. Ova akcija neće dovesti do gubitka korijena, jer x = 0 nije rješenje date jednadžbe.

b) Koristeći grupisanje, dovedite jednačinu u oblik:

a(x 2 + 1/x 2) + b(x + 1/x) + c = 0.

V) Unesite novu nepoznatu: t = (x + 1/x).

Napravimo transformacije: t 2 = x 2 +2 + 1/x 2 . Ako sada izrazimo x 2 + 1/x 2, onda je t 2 - 2 = x 2 + 1/x 2.

G) Riješi rezultirajuću kvadratnu jednačinu u novim varijablama:

na 2 + bt + c - 2a = 0.

e) Napravite obrnutu zamjenu.

Primjer.

6x 4 - 5x 3 - 38x 2 - 5x + 6 = 0.

Rješenje.

6x 2 - 5x - 38 - 5 / x + 6 / x 2 \u003d 0.

6 (x 2 + 1 / x 2) - 5 (x + 1 / x) - 38 \u003d 0.

Unesite t: zamjena (x + 1/x) = t. Zamjena: (x 2 + 1 / x 2) \u003d t 2 - 2, imamo:

6t 2 – 5t – 50 = 0.

t = -5/2 ili t = 10/3.

Vratimo se na x. Nakon obrnute zamjene rješavamo dvije rezultirajuće jednadžbe:

1) x + 1/x = -5/2;

x 2 + 5/2 x +1 = 0;

x = -2 ili x = -1/2.

2) x + 1/x = 10/3;

x 2 - 10/3 x + 1 = 0;

x = 3 ili x = 1/3.

Odgovor: -2; -1/2; 1/3; 3.

Načini rješavanja nekih vrsta jednačina viših stupnjeva

1. Jednačine koje izgledaju kao (x + a) n + (x + b) n = c, rješavaju se zamjenom t = x + (a + b)/2. Ova metoda se zove metoda simetrije.

Primjer takve jednačine bi bila jednačina oblika (x + a) 4 + (x + b) 4 = c.

Primjer.

(x + 3) 4 + (x + 1) 4 = 272.

Rješenje.

Vršimo gore navedenu zamjenu:

t \u003d x + (3 + 1) / 2 = x + 2, nakon pojednostavljenja: x = t - 2.

(t - 2 + 3) 4 + (t - 2 + 1) 4 = 272.

(t + 1) 4 + (t - 1) 4 = 272.

Uklanjanjem zagrada pomoću formula, dobijamo:

t 4 + 4t 3 + 6t 2 + 4t + 1 + t 4 - 4t 3 + 6t 2 - 4t + 1 = 272.

2t 4 + 12t 2 - 270 = 0.

t 4 + 6t 2 - 135 = 0.

t 2 = 9 ili t 2 = -15.

Druga jednačina ne daje korijene, ali iz prve imamo t = ±3.

Nakon obrnute zamjene, dobivamo da je x = -5 ili x = 1.

Odgovor: -5; 1.

Za rješavanje takvih jednadžbi često se ispostavi da je efikasan i metoda faktorizacije lijeve strane jednačine.

2. Jednačine oblika (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = A, gdje je a + d = c + b.

Tehnika rješavanja ovakvih jednačina je djelomično otvaranje zagrada, a zatim uvođenje nove varijable.

Primjer.

(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 24.

Rješenje.

Izračunajte: 1 + 4 = 2 + 3. Grupirajte zagrade u parove:

((x + 1)(x + 4))((x + 2)(x + 3)) = 24,

(x 2 + 5x + 4) (x 2 + 5x + 6) = 24.

Napravivši promjenu x 2 + 5x + 4 = t, imamo jednačinu

t(t + 2) = 24, kvadrat je:

t 2 + 2t - 24 = 0.

t = -6 ili t = 4.

Nakon izvođenja obrnute zamjene, lako možemo pronaći korijene originalne jednadžbe.

Odgovor: -5; 0.

3. Jednačine oblika (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) \u003d Ax 2, gdje je ad \u003d cb.

Metoda rješenja sastoji se u djelomičnom otvaranju zagrada, dijeljenju oba dijela sa x 2 i rješavanju skupa kvadratnih jednadžbi.

Primjer.

(x + 12)(x + 2)(x + 3)(x + 8) = 4x 2.

Rješenje.

Množenjem prve dvije i posljednje dvije zagrade na lijevoj strani dobijamo:

(x 2 + 14x + 24) (x 2 + 11x + 24) = 4x 2. Podijelite sa x 2 ≠ 0.

(x + 14 + 24/x)(x + 11 + 24/x) = 4. Zamjenom (x + 24/x) = t dolazimo do kvadratne jednadžbe:

(t + 14)(t + 11) = 4;

t 2 + 25x + 150 = 0.

t=10 ili t=15.

Obrnutom zamjenom x + 24 / x \u003d 10 ili x + 24 / x \u003d 15, nalazimo korijene.

Odgovor: (-15 ± √129)/2; -4; -6.

4. Riješite jednačinu (3x + 5) 4 + (x + 6) 3 = 4x 2 + 1.

Rješenje.

Ovu jednačinu je odmah teško klasificirati i odabrati metodu rješenja. Stoga prvo transformiramo koristeći razliku kvadrata i razliku kocki:

((3x + 5) 2 - 4x 2) + ((x + 6) 3 - 1) = 0. Zatim, nakon uklanjanja zajedničkog faktora, dolazimo do jednostavne jednačine:

(x + 5) (x 2 + 18x + 48) = 0.

Odgovor: -5; -9±√33.

Zadatak.

Sastavite polinom trećeg stepena, koji ima jedan korijen jednak 4, ima višestrukost 2 i korijen jednak -2.

Rješenje.

f(x)/((x - 4) 2 (x + 2)) = q(x) ili f(x) = (x - 4) 2 (x + 2)q(x).

Množenjem prve dvije zagrade i donošenjem sličnih pojmova dobijamo: f (x) = (x 3 - 6x 2 + 32) q (x).

x 3 - 6x 2 + 32 je polinom trećeg stepena, dakle, q (x) je neki broj iz R(tj. važeći). Neka je q(x) jedan, tada je f(x) = x 3 - 6x 2 + 32.

Odgovor: f (x) \u003d x 3 - 6x 2 + 32.

Imate bilo kakvih pitanja? Ne znate kako riješiti jednačine?
Za pomoć od tutora -.
Prva lekcija je besplatna!

blog.site, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.

Proučavajući dodatnu literaturu o rješavanju sistema jednačina, upoznao sam se sa novom vrstom sistema - simetričnim. I postavio sam sebi cilj:

Sažeti naučne informacije o temi "Sistemi jednačina".

Razumjeti i naučiti kako riješiti način uvođenja novih varijabli;

3) Razmotrite glavne teorije vezane za simetrične sisteme jednačina

4) Naučiti rješavati simetrične sisteme jednačina.

Istorija rešavanja sistema jednačina.

Eliminacija nepoznanica iz linearnih jednačina se dugo koristi. U 17-18 veku. V. Tehnike isključivanja razvili su Fermat, Newton, Leibniz, Euler, Bezout, Lagrange.

U modernoj notaciji, sistem dvije linearne jednačine sa dvije nepoznate ima oblik: a1x + b1y = c1, a2x + b2x = c2 x = c1b1 - c2b; y = a1s2 – a2s1 Rešenja ovog sistema su izražena formulama.

a1b2 – a2b1 a1b2 – a2b1

Zahvaljujući koordinatnoj metodi stvorenoj u 17. veku. Fermata i Descartesa, postalo je moguće grafički rješavati sisteme jednačina.

U drevnim babilonskim tekstovima napisanim u 3-2 milenijuma prije Krista. e. , sadrži mnoge probleme koji se rješavaju sastavljanjem sistema jednačina, u koje se uvode i jednačine drugog stepena.

Primjer #1:

Sabrao sam površine svoja dva kvadrata: 25. Strana drugog kvadrata jednaka je strani prvog i još 5. Odgovarajući sistem jednačina u odgovarajućoj notaciji izgleda ovako: x2 + y2 = 25, y = x = 5

Diofant, koji nije imao zapis za mnoge nepoznate, uložio je velike napore da odabere nepoznatu na takav način da svede rješenje sistema na rješenje jedne jednačine.

Primjer #2:

"Pronađi dva prirodna broja, znajući da je njihov zbir 20, a zbir njihovih kvadrata 208."

Problem je također riješen sastavljanjem sistema jednačina, x + y = 20, ali je riješen x2 + y2 = 208

Diofant, birajući kao nepoznatu polovinu razlike željenih brojeva, tj.

(x - y) \u003d z, + (x + y) \u003d 10

2z2 + 200 = 208 z = + 2z = -2- ne zadovoljava uslov problema, dakle, ako je z = 2x = 12, a y = 8

Koncepti sistema algebarskih jednačina.

U mnogim problemima može biti potrebno pronaći nekoliko nepoznatih veličina, znajući da su druge veličine koje se formiraju uz njihovu pomoć (funkcije nepoznatih) jednake jedna drugoj ili nekim datim veličinama. Razmotrimo jednostavan primjer.

Pravougaona parcela površine 2400 m2 ograđena je ogradom dužine 200 m. pronađite dužinu i širinu segmenta. U stvari, "algebarski model" ovog problema je sistem od dve jednačine i jedne nejednačine.

Moguća ograničenja-nejednakosti uvijek treba imati na umu. Kada rješavate zadatke za sastavljanje sistema jednačina. Ali ipak je glavna stvar riješiti same jednadžbe. Reći ću vam o metodama koje se koriste.

Počnimo s definicijama.

Sistem jednačina je skup od nekoliko (više od jedne) jednačina povezanih vitičastom zagradom.

Vitičasta zagrada znači da se sve jednačine sistema moraju izvršavati istovremeno i pokazuje da morate pronaći par brojeva (x; y) koji svaku jednačinu pretvara u pravu jednakost.

Rješenje sistema je takav par brojeva x i y, koji, kada se zamijene u ovaj sistem, pretvaraju svaku od njegovih jednačina u pravu numeričku jednakost.

Riješiti sistem jednačina znači pronaći sva njegova rješenja ili utvrditi da ih nema.

Metoda zamjene.

Metoda zamjene je da se u jednoj od jednačina jedna varijabla izražava u terminima druge. Dobijeni izraz se zamjenjuje u drugu jednačinu, koja se zatim pretvara u jednačinu s jednom promjenljivom, a zatim se rješava. Rezultirajuće vrijednosti ove varijable zamjenjuju se u bilo koju jednačinu originalnog sistema i pronalazi se druga varijabla.

Algoritam.

1. Izraziti y preko x iz jedne jednačine sistema.

2. Zamijenite rezultirajući izraz umjesto y u drugu jednačinu sistema.

3. Riješi rezultirajuću jednačinu za x.

4. Zamijenite redom svaki od korijena jednadžbe pronađene u trećem koraku umjesto x u izraz y kroz x dobiven u prvom koraku.

5) Zapišite odgovor u obliku parova vrijednosti (x; y).

Primjer br. 1 y \u003d x - 1,

Zamjena u drugoj jednadžbi y = x - 1, dobivamo 5x + 2 (x - 1) = 16, od čega je x = 2. zamjenjujemo rezultirajući izraz u prvoj jednadžbi: y = 2 - 1 \ u003d 1.

Odgovor: (2; 1).

Primjer #2:

8y - x \u003d 4, 1) 2 (8y - 4) - 21y \u003d 2

2x - 21y \u003d 2 16y - 8 - 21y \u003d 2

5y = 10 x \u003d 8y - 4, y = -2

2x - 21y \u003d 2

2) x \u003d 8 * (-2) - 4 x \u003d 8y - 4, x \u003d -20

2 (8y - 4) - 21y = 2 x \u003d 8y - 4, y = -2 x = -20, y \u003d -2

Odgovor: (-20; -2).

Primjer #3: x2 + y +8 = xy, 1) x2 + 2x + 8 = x * 2x y - 2x = 0 x2 + 2x + 8 = 2x2

X2 + 2x + 8 = 0 x2 + y + 8 = xy, x2 - 2x - 8 = 0 - kvadratna jednadžba y = 2x x1 = -2 x2 = 4 x2 + 2x + 8 = x * 2x 2) y1 = 2 * (-2) y = 2x y1 = -4 y2 = 2 * 4 x1 = -2 y2 = 8 x2 = 4 y = 2x x1 = -2, x2 = 4 y1 = -4, y2 = 8

Dakle (-2; -4); (4; 8) su rješenja ovog sistema.

Metoda sabiranja.

Metoda sabiranja sastoji se u činjenici da ako se dati sistem sastoji od jednadžbi koje, kada se saberu, formiraju jednačinu s jednom varijablom, tada ćemo rješavanjem ove jednadžbe dobiti vrijednosti jedne od varijabli. Vrijednost druge varijable se pronalazi, kao u metodi zamjene.

Algoritam za rješavanje sistema metodom sabiranja.

1. Izjednačiti module koeficijenata za jednu od nepoznanica.

2. Sabiranjem ili oduzimanjem rezultirajućih jednačina pronađite jednu nepoznatu.

3. Zamjenom pronađene vrijednosti u jednu od jednačina originalnog sistema, pronaći drugu nepoznatu.

Primjer #1. Riješite sistem jednadžbi dodavanjem: x + y = 20, x - y = 10

Oduzimanjem druge jednačine od prve, dobijamo

Izražavamo iz drugog izraza x \u003d 20 - y

Zamijenite y = 5 u ovaj izraz: x = 20 - 5 x = 15.

Odgovor: (15; 5).

Primjer #2:

Hajde da predstavimo jednačine predloženog sistema kao razliku, koju dobijamo

7y = 21, odakle je y = 3

Zamijenimo ovu vrijednost u vrijednost izraženu iz druge jednačine sistema x = , dobićemo x = 4.

Odgovor: (4; 3).

Primjer #3:

2x + 11y = 15,

10x - 11y = 9

Zbrajanjem ovih jednačina imamo:

2x + 10x = 15 + 9

12x = 24 x = 2, zamjenom ove vrijednosti u drugu jednadžbu, dobivamo:

10 * 2 - 11y \u003d 9, odakle je y = 1.

Rješenje ovog sistema je par: (2; 1).

Grafički način rješavanja sistema jednačina.

Algoritam.

1. Konstruirajte grafove svake od jednadžbi sistema.

2. Nalaženje koordinata tačke preseka konstruisanih pravih.

Slučaj međusobnog rasporeda linija na ravni.

1. Ako se prave seku, tj. imaju jednu zajedničku tačku, onda sistem jednačina ima jedno rješenje.

2. Ako su prave paralelne, odnosno nemaju zajedničkih tačaka, onda sistem jednačina nema rješenja.

3. Ako se prave poklapaju, tj. imaju mnogo tačaka, onda sistem jednačina ima beskonačan broj rješenja.

Primjer #1:

Riješite grafički sistem jednačina x - y = -1,

Iz prve i druge jednadžbe izražavamo y: y = 1 + x, y = 4 - 2x x

Napravimo grafikone svake od jednačina sistema:

1) y \u003d 1 + x - grafik funkcije je prava linija x 0 1 (1; 2) y 1 2

2) y \u003d 4 - 2x - graf funkcije je prava linija x 0 1 y 4 2

Odgovor: (1; 2).

Primjer #2: y x ​​+ 2y = 6,

4y \u003d 8 - 2x x y \u003d, y \u003d y \u003d - grafik funkcije je prava linija x 0 2 y 3 2 y \u003d - grafik funkcije je prava linija x 0 2 y 2 1

Odgovor: Ne postoje rješenja.

Primjer br. 3: y x ​​- 2y \u003d 2,

3x - 6y = 6 x - 2y = 2, x - 2y = 2 x y = - grafik funkcije je prava linija x 0 2 y -1 0

Odgovor: Sistem ima beskonačan broj rješenja.

Metoda za uvođenje novih varijabli.

Metoda uvođenja novih varijabli je da se nova varijabla unese u samo jednu jednačinu ili dvije nove varijable za obje jednačine odjednom, zatim se jednačina ili jednačine rješavaju u odnosu na nove varijable, nakon čega ostaje riješiti jednostavniji sistem jednadžbi, iz kojih nalazimo željeno rješenje.

Primjer #1:

x + y = 5

Označiti = z, zatim =.

Prva jednačina će imati oblik z + = , ekvivalentna je 6z - 13 + 6 = 0. Nakon što smo riješili rezultirajuću jednačinu, imamo z = ; z=. Tada je = ili = , drugim riječima, prva jednačina se dijeli na dvije jednačine, dakle, imamo dva sistema:

x + y = 5 x + y = 5

Rešenja ovih sistema su rešenja datog sistema.

Rješenje prvog sistema je par: (2; 3), a drugog je par (3; 2).

Dakle, rješenja sistema + = , x + y = 5

Parovi su (2; 3); (3; 2)

Primjer #2:

Neka je = X, a = Y.

X \u003d, 5 * - 2Y = 1

5X - 2Y \u003d 1 2,5 (8 - 3Y) - 2Y = 1

20 - 7,5U - 2U \u003d 1

X \u003d, -9,5Y = -19

5 * - 2Y = 1 Y = 2

Hajde da napravimo zamenu.

2 x = 1, y = 0,5

Odgovor: (1; 0,5).

Simetrični sistemi jednačina.

Sistem sa n nepoznatih naziva se simetričnim ako se ne mijenja kada se nepoznanice preuređuju.

Simetrični sistem od dvije jednačine sa dvije nepoznate x i y rješava se zamjenom u = x + y, v = xy. Imajte na umu da su izrazi koji se susreću u simetričnim sistemima izraženi u terminima u i v. Navedimo nekoliko takvih primjera koji su od nesumnjivog interesa za rješavanje mnogih simetričnih sistema: x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = u2 - 2v, x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2) = u ( u2 - 2v - v) = u3 - 3uv, x4 + y4 = (x2 + y2)2 - 2x2y2 = (u2 - 2v)2 - 2v2 = u4 - 4u2v + 2v2, x2 + xy + y2 = u2 - 2v + v = u2 - v, itd.

Simetrični sistem od tri jednačine za nepoznate x y, z se rješavaju zamjenom x + y + z = u, xy + yz + xz = w. Ako se pronađu u, v, w, onda se formira kubna jednadžba t2 – ut2 + vt – w = 0, čiji su korijeni t1, t2, t3 u raznim permutacijama rješenja originalnog sistema. Najčešći izrazi u takvim sistemima izražavaju se u terminima u, v, w na sljedeći način: x2 + y2 + z2 = u2 - 2v x3 + y3 + z3 = u3 - 3uv + 3w

Primjer #1: x2 + xy + y2 = 13, x + y = 4

Neka je x + y = u, xy = v.

u2 – v = 13, u = 4

16 - v = 13, u = 4 v = 3, u = 4

Hajde da napravimo zamenu.

Odgovor: (1; 3); (3; 1).

Primjer #2: x3 + y3 = 28, x + y = 4

Neka je x + y = u, xy = v.

u3 – 3uv = 28, u = 4

64 - 12 v = 28, u = 4

12v = -36 u = 4 v = 3, u = 4

Hajde da napravimo zamenu.

x + y = 4, xy = 3 x = 4 - y xy = 3 x = 4 - y,

(4 – y) y = 3 x = 4 – y, y1 = 3; y2 = 1 x1 = 1, x2 = 3, y1 = 3, y2 = 1

Odgovor: (1; 3); (3; 1).

Primjer #3: x + y + xy = 7, x2 + y2 + xy = 13

Neka je x = y = u, xy = v.

u + v = 7, u2 – v = 13 u2 – v = 13 u2 – 7 + u =13 u2 + u = 20 v = 7 – u, u (u + 1) =20 u2 – v =13 u = 4 v = 7 – u, u = 4 v = 3, u = 4

Hajde da napravimo zamenu.

x + y = 4, xy = 3 x = 4 - y xy = 3 x = 4 - y,

(4 – y) y = 3 x = 4 – y, y1 = 3; y2 = 1 x1 = 1, x2 = 3, y1 = 3, y2 = 1

Odgovor: (1; 3); (3; 1).

Primjer #4: x + y = 5, x3 + y3 = 65

Neka je x + y = u, xy = v.

u = 5, u3 – 3uv = 65 u3 – 3uv = 65 125 – 15v = 65

15v = -60 u = 5, v = 4 v = 4

Hajde da napravimo zamenu.

x + y = 5, xy = 4 x = 5 - y, xy = 4 x = 5 - y, y (5 - y) = 4 x = 5 - y y1 = 1, y2 = 4 x1 = 4, x2 = 1, y1 = 1, y2 = 4

Odgovor: (4; 1); (14).

Primjer #5: x2 + xy + y2 = 49, x + y + xy = 23

Napravimo promjenu nepoznanica, sistem će imati oblik u2 + v = 49, u + v = 23

Sabiranjem ovih jednačina dobijamo u2 + u - 72 = 0 sa korenima u1 = 8, u2 = -9. Prema tome, v1 = 15, v2 = 32. Ostaje riješiti skup sistema x + y = 8, x + y = -9, xy = 15 xy = 32

Sistem x + y = 8 ima rješenja x1 = 3, y1 = 5; x2=5, y2=3.

Sistem x + y = -9 nema realnih rješenja.

Odgovor: (3; 5), (5; 3).

Primjer broj 6. Riješite sistem jednačina.

2x2 - 3xy + 2y2 = 16, x + xy + y + 3 = 0

Koristeći osnovne simetrične polinome u = y + x i v = xy, dobijamo sljedeći sistem jednačina

2u2 - 7v = 16, u + v = -3

Zamjenom izraza v = -3 – u iz druge jednačine sistema u prvu jednačinu dobijamo sljedeću jednačinu 2u2 + 7u + 5 = 0, čiji su korijeni u1 = -1 i u2 = -2,5; i, shodno tome, vrijednosti v1 = -2 i v2 = -0,5 se dobijaju iz v = -3 - u.

Sada ostaje riješiti sljedeći skup sistema x + y = -1, i x + y = -2,5, xy = -2 xy = -0,5

Rješenja ovog skupa sistema, a samim tim i originalnog sistema (zbog njihove ekvivalencije), su sljedeća: (1; -2), (-2; 1), (;).

Primjer #7:

3x2y - 2xy + 3x2 \u003d 78,

2x - 3xy + 2y + 8 = 0

Koristeći osnovne simetrične polinome, sistem se može zapisati u sljedećem obliku

3uv - 2v = 78,

Izrazivši u = iz druge jednačine i zamijenivši ga u prvu jednačinu, dobijamo 9v2 – 28v – 156 = 0. Korijeni ove jednačine v1 = 6 i v2 = - nam omogućavaju da pronađemo odgovarajuće vrijednosti u1 = 5, u2 = - iz izraza u =.

Sada rješavamo sljedeći skup sistema x + y = 5, i x + y = - , xy = 6 xy = -.

x = 5 - y, i y = -x -, xy = 6 xy = -.

x = 5 - y, i y = -x -, y (5 - y) = 6 x (-x -) = -.

x = 5 – y, i y = -x - , y1= 3, y2 =2 x1 = , x2 = - x1 = 2, x2 = 3, i x1 = , x2 = - y1= 3, y2 =2 y1 = -, y2 =

Odgovor: (2; 3), (3; 2), (; -), (-;).

Zaključak.

U procesu pisanja članka upoznao sam se sa različitim tipovima sistema algebarskih jednačina. Sažeti naučni podaci na temu "Sistemi jednačina".

Razumjeli i naučili kako riješiti uvođenjem novih varijabli;

Pregledao glavne teorije vezane za simetrične sisteme jednačina

Naučio sam kako riješiti simetrične sisteme jednačina.

Uvod Problem mog projekta je u tome što je za uspješno polaganje ispita potrebna sposobnost rješavanja različitih sistema jednačina, a u srednjoj školi im se ne daje dovoljno vremena da dublje nauče ovu problematiku. Svrha rada: pripremiti se za uspješno polaganje ispita. Zadaci rada: Proširiti svoja znanja iz oblasti matematike u vezi sa pojmom "simetrija". Poboljšajte svoju matematičku kulturu, koristeći koncept "simetrije" prilikom rješavanja sistema jednačina, koji se nazivaju simetričnim, kao i drugih matematičkih problema.

Koncept simetrije. Simetrija - (drugi grčki συμμετρία), u širem smislu - nepromjenjivost pod bilo kojom transformacijom. Tako, na primjer, sferna simetrija tijela znači da se izgled tijela neće promijeniti ako se rotira u prostoru pod proizvoljnim uglovima. Bilateralna simetrija znači da desno i lijevo izgledaju isto u odnosu na neku ravan.

Rješavanje problema korištenjem simetrije. Zadatak 1. Dvije osobe naizmjenično stavljaju identične novčiće na okrugli sto, a novčići ne bi trebali prekrivati ​​jedni druge. Onaj ko ne može da napravi potez gubi. Ko pobjeđuje kada se igra ispravno? (Drugim riječima, koji igrač ima pobjedničku strategiju?)

Metode rješavanja simetričnih sistema. Simetrični sistemi se mogu riješiti promjenom varijabli, koje su glavni simetrični polinomi. Simetrični sistem od dvije jednačine sa dvije nepoznate x i y rješava se zamjenom u = x + y, v = xy.

Primjer br. 2 3 x 2y - 2xy + 3xy 2 = 78, 2x - 3xy + 2y + 8 = 0 Koristeći osnovne simetrične polinome, sistem se može napisati u sljedećem obliku 3uv - 2v \u003d 78, 2u 3v \u003d -8. Izrazom u = iz druge jednačine i zamjenom u prvu jednačinu dobijamo 9v2– 28v – 156 = 0. Korijeni ove jednačine v 1 = 6 i v 2 = - nam omogućavaju da pronađemo odgovarajuće vrijednosti u1 = 5, u2= - iz izraza u = .

Rešimo sada sledeći skup sistema Rešimo sada sledeći skup sistema x + y = 5, i x + y = - , xy = 6 xy = - . x = 5 - y, i y = -x -, xy = 6 xy = -. x = 5 - y, i y = -x -, y (5 - y) = 6 x (-x -) = -. x \u003d 5 - y, i y \u003d -x -, y 1 \u003d 3, y 2 \u003d 2 x 1 \u003d, x 2 \u003d - x 1 = 2, x 2 \u003d 3, i x 1 \u003d, x 2 \u003d - y 1= 3, y 2 =2 y 1 = -, y 2= Odgovor: (2; 3), (3; 2), (; -), (- ;).

Teoreme koje se koriste u rješavanju simetričnih sistema. Teorema 1. (o simetričnim polinomima) Svaki simetrični polinom u dvije varijable može se predstaviti kao funkcija dva osnovna simetrična polinoma Drugim riječima, za bilo koji simetrični polinom f (x, y) postoji funkcija dvije varijable φ (u, v) takav da

Teorema 2. (o simetričnim polinomima) Teorema 2. (o simetričnim polinomima) Svaki simetrični polinom u tri varijable može se predstaviti kao funkcija tri osnovna simetrična polinoma: Drugim riječima, za bilo koji simetrični polinom f (x, y) postoji takva funkcija tri varijable θ (u, v, w) takva da

Složeniji simetrični sistemi - sistemi koji sadrže modul: | x – y | + y2 = 3, | x – 1 | + | y-1 | = 2. Razmotrimo ovaj sistem posebno za x< 1 и при х ≥ 1. Если х < 1, то: а) при у < х система принимает вид х – у + у 2 = 3, - х + 1 – у + 1 = 2, или х – у + у 2 = 3, х + у = 0, откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = - 3, у2 = 3. Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области;

b) za x ≤ y< 1 система принимает вид б) при х ≤ у < 1 система принимает вид - х + у + у 2 = 3, - х + 1 – у + 1 = 2, или - х + у + у 2 = 3, х + у = 0, откуда находим х 1 = 3, у 1 = - 3; х 2 = - 1, у 2 = 1. Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области; в) при у ≥ 1 (тогда у >x) sistem ima oblik - x + y + y 2 = 3, - x + 1 + y - 1 = 2, ili - x + y + y 2 = 3, x - y \u003d - 2, odakle nalazimo x 1 = - 3, y 1 = 1, x 2 = 1, y 2 = 1. Drugi par brojeva pripada području koje se razmatra, odnosno to je rješenje ovom sistemu.

Ako je x ≥ 1, onda: Ako je x ≥ 1, onda: a) x > y i y< 1 система принимает вид х – у + у 2 = 3, х – 1 – у = 1 = 2, или х – у + у 2= 3, х – у = 2, откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = 4, у 2 = 2. Первая пара чисел принадлежит рассматриваемой области, т. Е. является решением данной системы; б) при х >y i y ≥ 1 sistem poprima oblik x - y + y 2 = 3, x - 1 + y - 1 = 2, ili x - y + y 2 = 3, x + y = 4, iz čega nalazimo x = 1, y = 3. Ovaj par brojeva ne pripada razmatranoj oblasti;

c) za x ≤ y (onda y ≥ 1), sistem poprima oblik c) za x ≤ y (onda y ≥ 1), sistem poprima oblik - x + y + y 2 = 3, x - 1 + y - 1 = 2, ili - x + y + y 2 = 3, x + y = 4, odakle nalazimo x 1 = 5 + √8, y 1 = - 1 - √8; x 2 = 5 - √8, y 2 = - 1 + √8. Ovi parovi brojeva ne pripadaju području koje se razmatra. Dakle, x 1 \u003d - 1, y 1 = 1; x 2 = 1, y 2 = - 1. Odgovor: (- 1; 1); (jedanaest).

Zaključak Matematika razvija ljudsko razmišljanje, uči putem logike da pronalazi različita rješenja. Dakle, naučivši kako rješavati simetrične sisteme, shvatio sam da se oni mogu koristiti ne samo za kompletiranje konkretnih primjera, već i za rješavanje raznih vrsta problema. Mislim da projekat može koristiti ne samo meni. Za one koji takođe žele da se upoznaju sa ovom temom, moj rad će biti dobra pomoć.

Spisak korišćene literature: Bashmakov M.I., "Algebra i počeci analize", 2. izdanje, Moskva, "Prosveshchenie", 1992, 350 str. Rudchenko P.A., Yaremchuk F.P., "Algebra i elementarne funkcije", imenik; treće izdanje, revidirano i prošireno; Kijev, Naukova, Dumka, 1987, 648 str. Sharygin I. F., „Matematika za srednjoškolce”, Moskva, Izdavačka kuća Drofa, 1995, 490 str. Internet resursi: http://www.college.en/

Rad se može koristiti za nastavu i izvještaje iz predmeta "Matematika"

Gotove matematičke prezentacije koriste se kao vizuelna pomagala koja omogućavaju nastavniku ili roditelju da demonstriraju temu koja se proučava iz udžbenika pomoću slajdova i tabela, pokažu primjere za rješavanje zadataka i jednačina i provjere znanja. U ovom delu sajta možete pronaći i preuzeti mnoštvo gotovih prezentacija iz matematike za učenike 1,2,3,4,5,6 razreda, kao i prezentacije iz više matematike za studente.

Ciljevi lekcije:

• edukativni: učenje rješavanja sistema jednačina koji sadrže homogenu jednačinu, simetričnih sistema jednačina;
• razvija: razvoj mišljenja, pažnje, pamćenja, sposobnosti da se istakne glavna stvar;
• edukativni: razvoj komunikacijskih vještina.

Vrsta lekcije: lekcija učenje novog gradiva.

Korišćene tehnologije učenja:

• rad u grupama;
• metoda dizajna.

Oprema: kompjuter, multimedijalni projektor.

Nedelju dana pre časa učenici dobijaju teme za kreativne zadatke (prema opcijama).
I opcija. Simetrični sistemi jednačina. Rješenja.
II opcija. Sistemi koji sadrže homogenu jednačinu. Rješenja.

Svaki učenik, koristeći dodatnu nastavnu literaturu, mora pronaći odgovarajući nastavni materijal, odabrati sistem jednačina i riješiti ga.
Po jedan učenik iz svake opcije kreira multimedijalne prezentacije na temu kreativnog zadatka. Nastavnik daje smjernice učenicima po potrebi.

I. Motivacija za nastavne aktivnosti učenika

Uvodna reč nastavnika
U prethodnoj lekciji razmatrali smo rješavanje sistema jednačina metodom zamjene nepoznanica. Ne postoji opće pravilo za odabir novih varijabli. Međutim, dvije vrste sistema jednadžbi mogu se razlikovati kada postoji razuman izbor varijabli:

• simetrični sistemi jednačina;
• sistema jednačina, od kojih je jedna homogena.

II. Učenje novog gradiva

Učenici druge opcije izvještavaju o domaćim zadacima.

1. Slideshow multimedijalne prezentacije "Sistemi koji sadrže homogenu jednačinu" (prezentacija 1).

2. Rad u parovima učenika koji sjede za istim stolom: učenik druge opcije objašnjava susjedu u klupi rješenje sistema koji sadrži homogenu jednačinu.

Izvještaj učenika 1. opcije.

1. Slideshow multimedijalne prezentacije "Simetrični sistemi jednačina" (prezentacija 2).

Učenici zapisuju u svoje sveske:

2. Rad u parovima učenika koji sjede za istim stolom: učenik I opcije objašnjava komšiji u klupi rješenje simetričnog sistema jednačina.

III. Konsolidacija proučenog materijala

Rad u grupama (u grupi od 4 učenika ujediniti učenike koji sjede za susjednim stolovima).
Svaka od 6 grupa obavlja sljedeći zadatak.

Odredite tip sistema i riješite ga:

Učenici u grupama analiziraju sisteme, određuju njihov tip, zatim u toku frontalnog rada diskutuju o rješenjima sistema.

a) sistem

simetrično, uvodimo nove varijable x+y=u, xy=v

b) sistem

sadrži homogenu jednačinu.

Par brojeva (0;0) nije rješenje za sistem.

IV. Kontrola znanja učenika

Samostalan rad na opcijama.

Riješite sistem jednačina:

Učenici predaju svoje sveske nastavniku na pregled.

V. Domaća zadaća

1. Izvode svi učenici.

Riješite sistem jednačina:

2. Izvođenje "jakih" učenika.

Riješite sistem jednačina:

VI. Sažetak lekcije

pitanja:
Koje vrste sistema jednačina ste naučili na času?
Koja metoda rješavanja sistema jednačina se koristi za njihovo rješavanje?

Izvještavanje o ocjenama koje su učenici dobili tokom časa.