Množenje polinoma objašnjenjem monoma. Množenje polinoma monomom - Hipermarket znanja. Primjeri množenja polinoma monomom

klasa: 7

Target:

1. Osigurati asimilaciju početnog znanja na temu „Množenje monoma polinomom“;
2. Razvijati analitičko-sintetizirajuće mišljenje;
3. Negovati motive za učenje i pozitivan odnos prema znanju.

Ujedinjavanje razrednog tima.

Zadaci:

1. Upoznajte se sa algoritmom za množenje monoma polinomom;
2. Vježbajte praktičnu primjenu algoritma.

Oprema: kartice sa zadacima, kompjuter, interaktivni projektor.

Vrsta lekcije: kombinovani.

Tokom nastave

I. Organizacioni momenat:

Zdravo momci, sedite.

Danas nastavljamo sa proučavanjem odjeljka „Polinomi“, a tema naše lekcije je „Množenje monoma polinomom“. Otvorite sveske i zapišite broj i temu lekcije „Množenje monoma polinomom“.

Cilj naše lekcije je da izvedemo pravilo za množenje monoma polinomom i naučimo ga primijeniti u praksi. Znanje koje ste stekli danas vam je neophodno tokom studiranja čitavog kursa algebre.

Na vašim stolovima imate formulare u koje ćemo bilježiti vaše bodove koje ste osvojili tokom čitave lekcije, a na osnovu rezultata će vam biti dodijeljena ocjena. Tačke ćemo prikazati u obliku emotikona. ( Aneks 1)

II. Faza pripreme učenika za aktivno i svjesno učenje novog gradiva.

Prilikom proučavanja nove teme biće nam potrebna znanja koja ste stekli u prethodnim lekcijama.

Učenici ispunjavaju zadatke koristeći kartice na temu „Stepen i njegova svojstva“. (5-7 minuta)

Prednji rad:

1) Data su dva monoma: 12p 3 i 4p 3

a) iznos;
b) razlika;
c) rad;
e) privatni;
e) kvadrat svakog monoma.

2) Imenujte članove polinoma i odredite stepen polinoma:

a)5 ab – 7a 2 + 2b – 2,6
b)6 xy 5 + x 2 y - 2

3) Danas će nam trebati distributivno svojstvo množenja.

Hajde da formulišemo ovo svojstvo i notaciju u doslovnom obliku.

III. Faza sticanja novih znanja.

Ponovili smo pravilo za množenje monoma monomom, distributivno svojstvo množenja. Hajde da to otežamo.

Podijelite se u 4 grupe. Svaka grupa ima 4 izraza na karticama. Pokušajte da vratite kariku koja nedostaje u lancu i objasnite svoje gledište.

• 8x 3 (6x 2 – 4x + 3) = ………………….……= 48x 5 – 32x 4 + 24x 3
• 5a 2 (2a 2 + 3a – 7) = …………………………………..= 10a 4 + 15a 3 – 35a 2
• 3y(9y 3 – 4y 2 – 6) = ………………………. =27g 4 – 12g 3 – 18g
• 6b 4 (6b 2 + 4b – 5) = ………….……………= 36b 6 + 24b 5 – 30b 4

(Po jedan predstavnik iz svake grupe dolazi do ekrana, zapisuje dio izraza koji nedostaje i objašnjava svoje gledište.)

Pokušajte formulirati pravilo (algoritam) za množenje polinoma monomom.

Kakav izraz se dobija kao rezultat ovih radnji?

Da biste se testirali, otvorite udžbenik na strani 126 i pročitajte pravilo (1 osoba čita naglas).

Poklapaju li se naši zaključci s pravilom iz udžbenika? Zapišite pravilo za množenje monoma polinomom u svoju bilježnicu.

IV. Pričvršćivanje:

1. Minut fizičkog vaspitanja:

Ljudi, sedite, zatvorite oči, opustite se, sad se odmaramo, mišići su nam opušteni, učimo temu "Množenje monoma polinomom."

I tako se sjećamo pravila i ponavljamo za mnom: da biste monom pomnožili polinomom, morate pomnožiti monom sa svakim članom polinoma i zapisati zbir rezultirajućih izraza. Otvaramo oči.

2. Rad po udžbeniku br. 614 kod table i u sveskama;

a) 2x(x 2 – 7x - 3) = 2x 3 – 14x 2 – 6x
b) -4v 2 (5v 2 – 3v - 2) = -20v 4 + 12v 3 + 8v 2
c) (3a 3 – a 2 + a)(- 5a 3) = -15a 6 + 5a 5 – 5a 4
d) (y 2 – 2,4y + 6)1,5y = 1,5y 3 – 3,6y 2 + 9y
e) -0,5x 2 (-2x 2 – 3x + 4) = x 4 + 1,5x 3 – 2x 2
e) (-3y 2 + 0,6y)(- 1,5y 3) = 4,5y 5 - 0,9y 4

(Prilikom izvođenja broja analiziraju se najčešće greške)

3. Takmičenje prema opcijama (dekodiranje piktograma). (Dodatak 2)

Opcija 1:		Opcija 2:
1) -3x 2 (- x 3 + x - 5) 2) 14 x(3 xy 2 – x 2 y + 5) 3) -0,2 m 2 n(10 mn 2 – 11 m 3 – 6) 4) (3a 3 – a 2 + 0,1a)(-5a 2) 5) 1/2 With(6 With 3 d – 10c 2 d 2) 6) 1.4p 3 (3q – pq + 5p) 7) 10x 2 y (5,4xy – 7,8y – 0,4) 8) 3 Ab(a 2 – 2ab + b 2)		1) 3a 4 x (a 2 – 2ah + x 3 - 1) 2) -11a(2a 2 b – a 3 + 5b 2) 3) -0,5 X 2 y(Xy 3 – 3X+ y 2) 4) (6b 4 – b 2 + 0,01)(-7b 3) 5) 1/3m 2 (9m 3 n 2 – 15mn) 6) 1.6c 4 (2c 2 d – cd + 5d) 7) 10p 4 (0,7pq – 6,1q – 3,6) 8) 5xy(x 2 – 3xy + x 3)

Zadaci su predstavljeni na pojedinačnim karticama i na ekranu. Svaki učenik završi svoj zadatak, pronađe slovo i upiše ga na ekran nasuprot izrazu koji je transformirao. Ako se dobije tačan odgovor, riječ će biti: bravo! pametni momci 7a

Ako su brojevi označeni različitim slovima, onda se može označiti samo proizvod; Neka, na primjer, trebamo pomnožiti broj a brojem b - to možemo označiti ili a ∙ b ili ab, ali ne može biti govora o tome da se ovo množenje nekako izvede. Međutim, kada je riječ o monomima, onda se, zahvaljujući 1) prisutnosti koeficijenata i 2) činjenici da ovi monomi mogu uključivati ​​faktore označene istim slovima, može govoriti o množenju monoma; Ova mogućnost je još šira za polinome. Pogledajmo nekoliko slučajeva u kojima je moguće izvršiti množenje, počevši od najjednostavnijih.

1. Množenje potencija sa istim osnovama. Neka je, na primjer, potrebno 3 ∙ a 5. Napišimo, znajući značenje eksponencijalnosti, istu stvar detaljnije:

a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a

Gledajući ovu detaljnu notaciju, vidimo da imamo zapisano kao faktor 8 puta, ili, ukratko, 8 . Dakle, a 3 ∙ a 5 = a 8.

Neka je potrebno b 42 ∙ b 28. Morali bismo prvo napisati faktor b 42 puta, a zatim opet faktor b 28 puta - generalno, dobili bismo da se b uzima kao faktor 70 puta. tj. b 70. Dakle, b 42 ∙ b 28 = b 70. Odavde je već jasno da kada se množe stepeni sa istim osnovama, baza stepena ostaje nepromenjena, a eksponenti stepena se sabiraju. Ako imamo 8 ∙ a, onda ćemo morati imati na umu da faktor a implicira eksponent od 1 („a na prvi stepen“), - dakle, a 8 ∙ a = a 9.

Primjeri: x ∙ x 3 ∙ x 5 = x 9 ; a 11 ∙ a 22 ∙ a 33 = a 66 ; 3 5 ∙ 3 6 ∙ 3 = 3 12 ; (a + b) 3 ∙ (a + b) 4 = (a + b) 7 ; (3x – 1) 4 ∙ (3x – 1) = (3x – 1) 5, itd.

Ponekad morate imati posla sa potencijama čiji su eksponenti označeni slovima, na primjer, xn (x na stepen n). Morate se naviknuti na rukovanje takvim izrazima. Evo primjera:

Objasnimo neke od ovih primjera: b n – 3 ∙ b 5 treba ostaviti bazu b nepromijenjenu i dodati eksponente, tj. (n – 3) + (+5) = n – 3 + 5 = n + 2. Od Naravno, morate naučiti da brzo izvodite takve dodatke u svojoj glavi.

Drugi primjer: x n + 2 ∙ x n – 2, – osnovicu x treba ostaviti nepromijenjenu, a eksponent dodati, tj. (n + 2) + (n – 2) = n + 2 + n – 2 = 2n.

Sada možete izraziti gore pronađeni red, kako izvršiti množenje potencija sa istim osnovama, jednakošću:

a m ∙ a n = a m + n

2. Množenje monoma monomom. Neka je, na primjer, potrebno 3a²b³c ∙ 4ab²d². Vidimo da je ovdje jedno množenje označeno tačkom, ali znamo da se isti znak množenja podrazumijeva između 3 i a², između a² i b³, između b³ i c, između 4 i a, između a i b², između b² i d². Dakle, ovdje možemo vidjeti proizvod 8 faktora i možemo ih pomnožiti bilo kojom grupom bilo kojim redoslijedom. Preuredimo ih tako da koeficijenti i potenci sa istim bazama budu u blizini, tj.

3 ∙ 4 ∙ a² ∙ a ∙ b³ ∙ b² ∙ c ∙ d².

Tada možemo pomnožiti 1) koeficijente i 2) snage sa istim bazama i dobiti 12a³b5cd².

Dakle, kada množimo monom sa monomom, možemo pomnožiti koeficijente i stepene sa istim bazama, ali se preostali faktori moraju prepisati bez promjena.

Više primjera:

3. Množenje polinoma monomom. Pretpostavimo da prvo trebate pomnožiti neki polinom, na primjer, a – b – c + d, pozitivnim cijelim brojem, na primjer, +3. Pošto se pozitivni brojevi smatraju isti kao i aritmetički brojevi, to je isto kao (a – b – c + d) ∙ 3, tj. uzeti a – b – c + d kao pojam 3 puta, ili

(a – b – c + d) ∙ (+3) = a – b – c + d + a – b – c + d + a – b – c + d = 3a – 3b – 3c + 3d,

to jest, kao rezultat, svaki član polinoma je morao biti pomnožen sa 3 (ili sa +3).

Iz ovoga proizilazi:

(a – b – c + d) ÷ (+3) = a – b – c + d,

to jest, svaki član polinoma je morao biti podijeljen sa (+3). Takođe, generalizujući, dobijamo:

i tako dalje.

Neka sada trebamo pomnožiti (a – b – c + d) pozitivnim razlomkom, na primjer, sa +. Ovo je isto kao množenje aritmetičkim razlomkom, što znači uzimanje dijelova (a – b – c + d). Lako je uzeti jednu petinu ovog polinoma: trebate podijeliti (a – b – c + d) sa 5, a mi već znamo kako se to radi, i dobijamo . Ostaje ponoviti rezultat 3 puta ili pomnožiti sa 3, tj.

Kao rezultat, vidimo da smo morali pomnožiti svaki član polinoma sa ili sa +.

Neka sada trebamo pomnožiti (a – b – c + d) negativnim brojem, cijelim brojem ili razlomkom,

tj., u ovom slučaju, svaki član polinoma je morao biti pomnožen sa –.

Dakle, bez obzira na broj m, uvijek postoji (a – b – c + d) ∙ m = am – bm – cm + dm.

Pošto je svaki monom broj, ovdje vidimo indikaciju kako polinom pomnožiti monomom - moramo pomnožiti svaki član polinoma ovim monomom.

4. Množenje polinoma polinomom. Neka je (a + b + c) ∙ (d + e). Pošto d i e znače brojeve, onda (d + e) ​​izražava bilo koji jedan broj.

(a + b + c) ∙ (d + e) ​​= a(d + e) ​​+ b(d + e) ​​+ c(d + e)

(ovo možemo objasniti na ovaj način: imamo pravo da privremeno uzmemo d + e kao monom).

Ad + ae + bd + be + cd + ce

U ovom rezultatu možete promijeniti redoslijed članova.

(a + b + c) ∙ (d + e) ​​= ad + bd + ed + ae + be + ce,

to jest, da bi se polinom pomnožio sa polinomom, svaki član jednog polinoma mora se pomnožiti sa svakim članom drugog. Pogodno je (u tu svrhu gore je promijenjen redoslijed dobijenih članova) svaki član prvog polinoma prvo pomnožiti prvim članom drugog (sa +d), a zatim drugim članom drugog (sa + e), zatim, ako je postojao, do trećeg, itd. d.; nakon toga treba izvršiti redukciju sličnih termina.

U ovim primjerima, binom se množi sa binomom; u svakom binomu, termini su raspoređeni u opadajućem stepenu slova zajedničkog za oba binoma. Lako je izvesti takva množenja u glavi i odmah napisati konačni rezultat.

Od množenja vodećih članova prvog binoma sa vodećim članom drugog, tj. 4x² sa 3x, dobijamo 12x³ vodeći član proizvoda - očigledno neće biti sličnih. Zatim tražimo množenje kojih će članova rezultirati terminima sa stepenom slova x koji je za 1 manji, tj. sa x². Lako možemo vidjeti da se takvi članovi dobijaju množenjem 2. člana prvog faktora sa 1. članom drugog i množenjem 1. člana prvog faktora sa 2. članom drugog (zagrade na dnu primjer to ukazuje). Izvođenje ovih množenja u svojoj glavi, kao i smanjenje ova dva slična člana (nakon čega dobijamo termin –19x²) nije teško. Tada primjećujemo da će se sljedeći član, koji sadrži slovo x do stepena čak 1 manjeg, odnosno x do 1. stepena, dobiti samo množenjem drugog člana sa sekundom, a sličnih neće biti.

Drugi primjer: (x² + 3x)(2x – 7) = 2x³ – x² – 21x.

Također je lako pokrenuti primjere u svojoj glavi, kao što su sljedeći:

Vodeći član se dobija množenjem glavnog člana sa vodećim; njemu neće biti sličnih članova, a on je = 2a³. Zatim tražimo koja će množenja dati članove sa a² - od množenja 1. člana (a²) sa 2. (–5) i od množenja drugog člana (–3a) sa 1. (2a) - ovo je naznačeno ispod u zagradama ; Nakon što smo izvršili ova množenja i spojili rezultirajuće članove u jedan, dobili smo –11a². Zatim tražimo koja će množenja dati članove sa a do prvog stepena - ova množenja su označena zagradama na vrhu. Nakon što ih ispunimo i spojimo rezultirajuće pojmove u jedan, dobijamo +11a. Konačno, napominjemo da se najniži član proizvoda (+10), koji uopće ne sadrži a, dobije množenjem niskog člana (–2) jednog polinoma s niskim članom (–5) drugog.

Drugi primjer: (4a 3 + 3a 2 – 2a) ∙ (3a 2 – 5a) = 12a 5 – 11a 4 – 21a 3 + 10a 2.

Iz svih prethodnih primera dobijamo i opšti rezultat: vodeći član proizvoda uvek se dobija množenjem vodećih članova faktora, i ne može biti sličnih pojmova; Takođe, najniži član proizvoda se dobija množenjem članova nižeg reda faktora, a ni njemu ne može biti sličnih pojmova.

Preostali pojmovi dobijeni množenjem polinoma polinomom mogu biti slični, a može se desiti i da se svi ti pojmovi međusobno unište, a da ostanu samo stariji i najmlađi.

Evo primjera:

(a² + ab + b²) (a – b) = a³ + a²b + ab² – a²b – ab² – b³ = a³ – b³
(a² – ab + b²) (a – b) = a³ – a²b + ab² + a²b – ab² + b³ = a³ + b³
(a³ + a²b + ab² + b³) (a – b) = a 4 – b 4 (pišemo samo rezultat)
(x 4 – x³ + x² – x + 1) (x + 1) = x 5 + 1, itd.

Ovi rezultati su vrijedni pažnje i korisni za pamćenje.

Posebno je važan sljedeći slučaj množenja:

(a + b) (a – b) = a² + ab – ab – b² = a² – b²
ili (x + y) (x – y) = x² + xy – xy – y² = x² – y²
ili (x + 3) (x – 3) = x² + 3x – 3x – 9 = x² – 9, itd.

U svim ovim primjerima, kada se primjenjuje na aritmetiku, imamo proizvod zbira dva broja i njihove razlike, a rezultat je razlika kvadrata ovih brojeva.

Ako vidimo sličan slučaj, onda nema potrebe za detaljno množenje, kao što je urađeno gore, ali možemo odmah napisati rezultat.

Na primjer, (3a + 1) ∙ (3a – 1). Ovdje je prvi faktor, sa stanovišta aritmetike, zbir dva broja: prvi broj je 3a, a drugi 1, a drugi faktor je razlika istih brojeva; dakle, rezultat bi trebao biti: kvadrat prvog broja (tj. 3a ∙ 3a = 9a²) minus kvadrat drugog broja (1 ∙ 1 = 1), tj.

(3a + 1) ∙ (3a – 1) = 9a² – 1.

Također

(ab – 5) ∙ (ab + 5) = a²b² – 25, itd.

Pa da se podsetimo

(a + b) (a – b) = a² – b²

odnosno proizvod zbira dva broja i njihove razlike jednak je razlici kvadrata ovih brojeva.

I.Da biste pomnožili monom polinomom, trebate svaki član polinoma pomnožiti s ovim monomom i dodati rezultirajuće proizvode.

Primjer 1. Pomnožite monom polinomom: 2a·(4a 2 -0.5ab+5a 3).

Rješenje. Monomijalni 2a Pomnožićemo sa svakim monomom polinoma:

2a·(4a 2 -0.5ab+5a 3)=2a∙4a 2 +2a∙(-0.5ab)+2a∙5a 3=8a 3 -a 2 b+10a 4 . Zapišimo rezultirajući polinom u standardnom obliku:

10a 4 +8a 3 -a 2 b.

Primjer 2. Pomnožimo polinom monomom: (3xyz 5 -4,5x 2 y+6xy 3 +2,5y 2 z)∙(-0,4x 3).

Rješenje. Svaki član u zagradi množimo monomom (-0,4x 3).

(3xyz 5 -4,5x 2 y+6xy 3 +2,5y 2 z)∙(-0,4x 3)=

3xyz 5 ∙(-0,4x 3) -4,5x 2 y∙(-0,4x 3)+6xy 3 ∙(-0,4x 3)+2,5y 2 z∙(-0,4x 3)=

=-1,2x 4 yz 5 +1,8x 5 y-2,4x 4 y 3 -x 3 y 2 z.

II.Predstavljanje polinoma kao proizvoda dva ili više polinoma naziva se faktoriranjem polinoma.

III.Vađenje zajedničkog faktora iz zagrada je najjednostavniji način da se faktori polinoma.

Primjer 3. Faktor polinoma: 5a 3 +25ab-30a 2 .

Rješenje. Izvadimo zajednički faktor svih članova polinoma iz zagrada. Ovo je monom 5a, jer na 5a svaki član datog polinoma je podijeljen. dakle, 5a pišemo ispred zagrada, au zagradama pišemo količnike dijeljenja svakog monoma sa 5a.

5a 3 +25ab-30a 2 =5a·(a 2 +5b-6a). Provjerimo se: ako se množimo 5a na polinom u zagradama a 2 +5b-6a, onda dobijamo ovaj polinom 5a 3 +25ab-30a 2.

Primjer 4. Izvadite zajednički faktor iz zagrada: (x+2y) 2 -4·(x+2y).

Rješenje.(x+2y) 2 -4·(x+2y)= (x+2y)(x+2y-4).

Zajednički faktor ovdje je bio binom (x+2y). Izvukli smo ga iz zagrada i u zagradama zapisali količnike dijeljenja ovih pojmova (x+2y) 2 I -4·(x+2y) po njihovom zajedničkom djelitelju

(x+2y). Kao rezultat toga, ovaj polinom smo predstavili kao proizvod dva polinoma (x+2y) I (x+2y-4), drugim riječima, proširili smo polinom (x+2y) 2 -4·(x+2y) po množiteljima. odgovor: (x+2y)(x+2y-4).

IV.Da pomnožite polinom polinomom, trebate pomnožiti svaki član jednog polinoma sa svakim članom drugog polinoma i zapisati rezultirajuće proizvode kao zbir monoma. Ako je potrebno, dodajte slične termine.

Primjer 5. Izvršite množenje polinoma: (4x 2 -6xy+9y 2)(2x+3y).

Rješenje. Prema pravilu, svaki član prvog polinoma (4x 2 -6xy+9y 2) moramo pomnožiti sa svakim članom drugog polinoma (2x+3y). Da biste izbjegli zabunu, uvijek radite ovo: prvo pomnožite svaki član prvog polinoma sa 2x, a zatim ponovo pomnožite svaki član prvog polinoma sa 3y.

(4x 2 -6xy+9y 2)( 2x +3g)=4x 2 ∙ 2x-6xy∙ 2x+9y 2 ∙ 2x+4x 2 ∙ 3g-6xy∙ 3g+9y 2 ∙ 3g=

8x 3 -12x 2 y+18xy 2 +12x 2 y-18xy 2 +27y 3 =8x 3 +27y 3 .

Ispostavilo se da su slični članovi -12x 2 y i 12x 2 y, kao i 18xy 2 i -18xy 2 suprotni, njihovi sumi su jednaki nuli.

odgovor: 8x 3 +27y 3 .

Stranica 1 od 1 1

U ovoj lekciji ćemo proučavati operaciju množenja polinoma monomom, što je osnova za proučavanje množenja polinoma. Prisjetimo se distributivnog zakona množenja i formulirajmo pravilo za množenje bilo kojeg polinoma monomom. Prisjetimo se i nekih svojstava stupnjeva. Osim toga, tipične greške će biti formulirane prilikom izvođenja različitih primjera.

Predmet:Polinomi. Aritmetičke operacije nad monomima

lekcija:Množenje polinoma monomom. Tipični zadaci

Operacija množenja polinoma monomom je osnova za razmatranje operacije množenja polinoma polinomom, a prvo morate naučiti kako množiti polinom monomom da biste razumjeli množenje polinoma.

Osnova ove operacije je distributivni zakon množenja. Podsjetimo ga:

U suštini, vidimo pravilo za množenje polinoma, u ovom slučaju binoma, monomom, a ovo pravilo se može formulirati na sljedeći način: da biste polinom pomnožili monomom, trebate svaki član polinoma pomnožiti sa ovaj monom. Dodajte algebarski dobijene proizvode, a zatim izvršite potrebne radnje na polinomu - odnosno dovedite ga u standardni oblik.

Pogledajmo primjer:

Komentar: Ovaj primjer je riješen preciznim poštivanjem pravila: svaki član polinoma se množi monomom. Da bi se dobro razumio i asimilirao distributivni zakon, u ovom primjeru, članovi polinoma su zamijenjeni sa x i y, redom, a monom sa c, nakon čega je izvedena elementarna radnja u skladu sa distributivnim zakonom i početne vrijednosti su zamijenjene. Treba biti oprezan sa znakovima i ispravno pomnožiti sa minus jedan.

Pogledajmo primjer množenja trinoma monomom i uvjerimo se da se ne razlikuje od iste operacije s binomom:

Pređimo na rješavanje primjera:

Komentar: ovaj primjer je riješen prema distributivnom zakonu i slično kao u prethodnom primjeru - svaki član polinoma se množi monomom, rezultujući polinom je već napisan u standardnom obliku, tako da se ne može pojednostaviti.

Primjer 2 - izvršite radnje i dobijete polinom u standardnom obliku:

Komentar: da bismo riješili ovaj primjer, prvo ćemo pomnožiti prvi i drugi binom prema zakonu raspodjele, a zatim ćemo rezultujući polinom dovesti u standardni oblik - predstavit ćemo slične pojmove.

Sada ćemo formulirati glavne probleme povezane s operacijom množenja polinoma monomom i dati primjere njihovog rješenja.

Zadatak 1 - pojednostavite izraz:

Komentar: ovaj primjer se rješava slično kao i prethodni, naime prvo se polinomi množe odgovarajućim monomima, a zatim se slični smanjuju.

Zadatak 2 - pojednostavi i izračunaj:

Primjer 1:;

Komentar: ovaj primjer je riješen slično kao i prethodni, s tim da nakon donošenja sličnih pojmova treba zamijeniti njegovu konkretnu vrijednost umjesto varijable i izračunati vrijednost polinoma. Podsjećamo, da biste lako pomnožili decimalu sa deset, trebate pomjeriti decimalno mjesto za jedno mjesto udesno.

Poseban slučaj množenja polinoma polinomom je množenje polinoma monomom. U ovom članku ćemo formulirati pravilo za izvođenje ove radnje i analizirati teoriju koristeći praktične primjere.

Pravilo za množenje polinoma monomom

Hajde da shvatimo šta je osnova množenja polinoma monomom. Ova akcija se zasniva na distributivnom svojstvu množenja u odnosu na sabiranje. Doslovno se ovo svojstvo zapisuje na sljedeći način: (a + b) c = a c + b c (a, b i c– neki brojevi). U ovom unosu izraz (a + b) c je upravo proizvod polinoma (a + b) i monoma c. Desna strana jednakosti a · c + b · c je zbir proizvoda monoma a I b po monomialu c.

Gornje rezonovanje nam omogućava da formulišemo pravilo za množenje polinoma monomom:

Definicija 1

Da biste izvršili radnju množenja polinoma monomom, morate:

• zapišite proizvod polinoma i monoma koje treba pomnožiti;
• pomnožiti svaki član polinoma datim monomom;
• pronađite zbir dobijenih proizvoda.

Objasnimo dalje dati algoritam.

Da bi se formirao proizvod polinoma i monoma, originalni polinom se stavlja u zagrade; tada se između njega i datog monoma stavlja znak množenja. Ako monom počinje sa predznakom minus, on se također mora staviti u zagrade. Na primjer, proizvod polinoma − 4 x 2 + x − 2 i monom 7 g napišimo to kao (− 4 x 2 + x − 2) 7 y, i proizvod polinoma a 5 b − 6 a b i monom − 3 a 2 stavi u formu: (a 5 b − 6 a b) (− 3 a 2).

Sljedeći korak algoritma je množenje svakog člana polinoma datim monomom. Komponente polinoma su monomi, tj. U suštini, moramo pomnožiti monom sa monomom. Pretpostavimo da smo nakon prvog koraka algoritma dobili izraz (2 x 2 + x + 3) 5 x, onda je drugi korak množenje svakog člana polinoma 2 x 2 + x + 3 sa monomom 5 x, čime se dobija: 2 x 2 5 x = 10 x 3, x 5 x = 5 x 2 i 3 5 x = 15 x. Rezultat će biti monomi 10 x 3, 5 x 2 i 15 x.

Posljednja radnja prema pravilu je dodavanje dobivenih proizvoda. Iz predloženog primjera, nakon završetka ovog koraka algoritma, dobijamo: 10 x 3 + 5 x 2 + 15 x.

Kao standard, svi koraci su zapisani kao lanac jednakosti. Na primjer, pronalaženje proizvoda polinoma 2 x 2 + x + 3 i monom 5 x napišimo to ovako: (2 x 2 + x + 3) 5 x = 2 x 2 5 x + x 5 x + 3 5 x = 10 x 3 + 5 x 2 + 15 x. Eliminacijom srednjeg proračuna drugog koraka, kratko rješenje se može napisati na sljedeći način: (2 x 2 + x + 3) 5 x = 10 x 3 + 5 x 2 + 15 x.

Razmatrani primjeri omogućavaju uočavanje važne nijanse: kao rezultat množenja polinoma i monoma, dobiva se polinom. Ova izjava je tačna za svaki množivi polinom i monom.

Po analogiji, monom se množi polinomom: dati monom se množi sa svakim članom polinoma i rezultirajući proizvodi se zbrajaju.

Primjeri množenja polinoma monomom

Primjer 1

Potrebno je pronaći proizvod: 1, 4 · x 2 - 3, 5 · y · - 2 7 · x.

Rješenje

Prvi korak pravila je već završen - rad je snimljen. Sada izvodimo sljedeći korak množenjem svakog člana polinoma datim monomom. U ovom slučaju, zgodno je prvo pretvoriti decimalne razlomke u obične razlomke. tada dobijamo:

1, 4 x 2 - 3, 5 y - 2 7 x = 1, 4 x 2 - 2 7 x - 3, 5 y - 2 7 x = = - 1, 4 2 7 x 2 x + 3, 5 2 7 x y = - 7 5 2 7 x 3 + 7 5 2 7 x y = - 2 5 x 3 + x y

odgovor: 1, 4 x 2 - 3, 5 y - 2 7 x = - 2 5 x 3 + x y.

Pojasnimo da kada su originalni polinom i/ili monom dati u nestandardnom obliku, prije pronalaženja njihovog proizvoda, preporučljivo ih je svesti na standardni oblik.

Primjer 2

Polinom je dat 3 + a − 2 · a 2 + 3 · a − 2 i monom − 0, 5 · a · b · (− 2) · a. Morate pronaći njihov posao.

Rješenje

Vidimo da su izvorni podaci predstavljeni u nestandardnom obliku, pa ćemo ih zbog pogodnosti daljih izračuna staviti u standardni oblik:

− 0 , 5 · a · b · (− 2) · a = (− 0 , 5) · (− 2) · (a · a) · b = 1 · a 2 · b = a 2 · b 3 + a − 2 · a 2 + 3 · a − 2 = (3 − 2) + (a + 3 · a) − 2 · a 2 = 1 + 4 · a − 2 · a 2

Sada pomnožimo monom a 2 b za svaki član polinoma 1 + 4 · a − 2 · a 2

a 2 b (1 + 4 a − 2 a 2) = a 2 b 1 + a 2 b 4 a + a 2 b (− 2 a 2) = = a 2 · b + 4 · a 3 · b − 2 · a 4 · b

Nismo mogli svesti početne podatke na standardni oblik: rješenje bi bilo glomaznije. U ovom slučaju, posljednji korak bi bila potreba za dovođenjem sličnih članova. Za razumijevanje, evo rješenja prema ovoj shemi:

− 0 , 5 · a · b · (− 2) · a · (3 + a − 2 · a 2 + 3 · a − 2) = = − 0 , 5 · a · b · (− 2) · a · 3 − 0 , 5 · a · b · (− 2) · a · a − 0 , 5 · a · · b · (− 2) · a · (− 2 · a 2) − 0 , 5 · a · b · (− 2) · a · 3 · a − 0, 5 · a · b · (− 2) · a · (− 2) = = 3 · a 2 · b + a 3 · b − 2 · a 4 · b + 3 · a 3 · b − 2 · a 2 · b = a 2 · b + 4 · a 3 · b − 2 · a 4 · b

odgovor: − 0 , 5 · a · b · (− 2) · a · (3 + a − 2 · a 2 + 3 · a − 2) = a 2 · b + 4 · a 3 · b − 2 · a 4 · b.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter